Isomorphisms of Steinberg Groups over Commutative Rings

<正> Let A and R be commutative rings. and m and n be integers≥3. It is proved that,if A: Stm（A）→St_n（R）is an isomorphism, then m=n. When n≥4, we have: （1） Everyisomorphism A: St_n（A）→St_n（R） induces an isomorphism λ:E_n（A）→E_n（R）, and A is uniquelydetermined by λ; （2）If St_n（A）≌St_n（R）then K2.n（A）≌K（2.n）(R); （3）Every isomorphism E_n（A）→E_n（R）can be lifted to an isomorphism St_n（A）→St_n（R）;（4） St_n（A）≌St_n（R）if and only ifA≌R. For the case n=3, if St3（A） and St3 （R） are respectively central extensions of E3（A）andE3 （R）, then the above （1） and （2） hold.